La historia de los números data sus inicios en tiempos tan remotos que no se le conocen décadas de inicio; los números nacen a partir de la necesidad de contar objetos o personas y tener conocimiento de cantidades, pero los números que se conocen hoy en día no siempre fueron así.
¿Qué son los números?
Un número con el paso de la historia de los números, se le definió como un objeto matemático utilizado para contar, medir y etiquetar. Los ejemplos originales son los números naturales 1, 2, 3, 4 y así sucesivamente. Un símbolo de notación que representa un número se llama numeral.
Además de su uso en contar y medir, los números se usan a menudo para etiquetas, como se implementa con números de teléfono, para ordenar, como con números de serie, y para códigos, como se implementan en el ISBN, que significa International Standard Book Number, que en español es el Libro Estándar Internacional de los Números. En el uso común, el número puede referirse a un símbolo, una palabra o una abstracción matemática.
En matemáticas, la noción de número se ha extendido a lo largo de los siglos para incluir 0, números negativos, números racionales como ½ y 2/3, números reales como √2 y π, que se pronuncia ‘‘Pi’’, y números complejos, que extienden los números reales mediante la suma una raíz cuadrada de -1.
Los cálculos con números se realizan con operaciones aritméticas, siendo las más familiares la adición o suma, la sustracción o resta, la multiplicación, la división y la exponenciación. Su estudio o uso se llama aritmética. El mismo término también puede referirse a la teoría de números, el estudio de las propiedades de los números.
Además de sus usos prácticos, los números tienen un significado cultural en todo el mundo. Por ejemplo, en la sociedad occidental, el número 13 se considera de mala suerte, y «un millón» puede significar «mucho». Aunque ahora se considera como pseudociencia, es decir, una ciencia que es considerada como falsa, la numerología como ciencia, la creencia en un significado místico de los números, impregna el pensamiento antiguo y medieval.
La numerología influyó fuertemente en el desarrollo de las matemáticas griegas, estimulando la investigación de muchos problemas en la teoría de números que todavía son de interés en la actualidad.
Durante el siglo XIX, los matemáticos comenzaron a desarrollar muchas abstracciones diferentes en la historia de los números, que comparten ciertas propiedades de los números y pueden verse como la extensión del concepto. Entre los primeros estaban los números hipercomplejos, que consisten en varias extensiones o modificaciones del sistema numérico complejo.
Hoy en día, los sistemas numéricos se consideran importantes ejemplos especiales de categorías mucho más generales, como anillos y campos, y la aplicación del término «número» es una cuestión de convención, que no cuenta con niveles de importancia fundamental.
Numerales
Los números deben ser claramente distinguidos de los numerales, que son los símbolos utilizados para representar números. Los egipcios inventaron el primer sistema numérico cifrado, y los griegos siguieron mapeando sus números de conteo en los alfabetos jónico y dórico.
Los números romanos, que se definen como un sistema que usaba combinaciones de letras del alfabeto romano, siguieron siendo dominantes en Europa hasta la expansión del sistema de números arábigos superior a fines del siglo XIV, y el sistema de números arábigos sigue siendo el sistema más común para representar números en el mundo actualmente. La clave de la efectividad del sistema fue el símbolo de cero, que fue desarrollado por antiguos matemáticos en el subcontinente indio alrededor del año 500 D.C.
Los números reales
El símbolo de los números reales es R, el cual también puede ser escrito como una R con doble palito vertical. Incluyen todos los números de medición. Cada número real corresponde a un punto de la línea numérica. El tratamiento de los números reales negativos está de acuerdo con las reglas generales de la aritmética y su denotación es simplemente prefijar el número positivo correspondiente por un signo menos, por ejemplo -234.561.
La mayoría de los números reales sólo se pueden aproximar por medio de números decimales, en los cuales se coloca un punto decimal a la derecha del dígito con valor posicional 1. Cada dígito a la derecha del punto decimal tiene un valor posicional una décima parte del valor posicional del dígito a su izquierda.
Por ejemplo, 123.456 representa 123456/1000, ó, en palabras, cien, dos decenas, tres unos, cuatro décimas, quinientas y seis milésimas. Un número real puede ser expresado por un número finito de dígitos decimales sólo si es racional y su parte fraccionaria tiene un denominador cuyos factores primos son 2 o 5 o ambos, porque estos son los factores primos de 10, la base del sistema decimal. Así, por ejemplo, la mitad es 0,5, la quinta parte es 0,2, la décima parte es 0,1 y la quincuagésima parte es 0,02.
Representar otros números reales como decimales requeriría una secuencia infinita de dígitos a la derecha del punto decimal. Si esta secuencia infinita de dígitos sigue un patrón, se puede escribir con una elipsis u otra anotación que indique el patrón de repetición. Este decimal se llama decimal repetido. Así 1/3 puede escribirse como 0.333…, con una elipsis para indicar que el patrón continúa. Siempre repitiendo 3s también se escriben como 0.3.
Números enteros
El negativo de un número entero positivo se define como un número que produce 0 cuando se suma al número entero positivo correspondiente. Los números negativos generalmente se escriben con un signo negativo, es decir, un signo menos, el cual se utiliza en las sustracciones. Como ejemplo, el negativo de 7 se escribe -7, y 7 + (-7) = 0.
Cuando el conjunto de números negativos se combina con el conjunto de números naturales (incluyendo 0), el resultado se define como el conjunto de números enteros, Z, que también puede ser escrito como una Z con doble trazado en el que palito del medio. Aquí la letra Z viene del alemán Zahl, que significa ‘número’. El conjunto de enteros forma un anillo con la suma y multiplicación de las operaciones.
Los números naturales forman un subconjunto de los enteros. Como no existe una norma común para la inclusión o no del número cero en los números naturales, los números naturales sin cero se denominan comúnmente números enteros positivos, y los números naturales con cero se denominan números enteros no negativos.
Historia de los números
En los inicios de las apariciones y muestras de humanos, específicamente hablando de la historia de los números, se han visto huesos y otros artefactos que han sido descubiertos con marcas de cortadas en ellos, por lo que se tienen teorías que establecen que esas marcas son cuentas numéricas. Estas marcas pueden haberse utilizado para contar el tiempo transcurrido, como el número de días, los ciclos lunares o el registro de cantidades, como las de animales.
Un sistema de recuento no tiene concepto de valor posicional (como en la notación decimal moderna), lo que limita su representación de grandes números. No obstante, los sistemas de recuento se consideran el primer tipo de sistema numérico abstracto.
El primer sistema conocido con valor posicional fue el sistema Mesopotámico base 60, el cual tienes sus inicios aproximadamente en el año 3400 a.C., y el primer sistema conocido base 10 data del año 3100 a.C. en Egipto.
Sistema Mesopotámico base 60
Las antiguas unidades de medida mesopotámicas se originaron en las ciudades-estado, las cuales eran poco organizadas, bajo la responsabilidad de los habitantes de los primeros tiempos del Sumerio Dinástico, que es el tiempo en la historia de Mesopotamia que abarca los años 2900 a.C y 2334 a.C.
Cada ciudad, reino y gremio comercial tenía sus propias normas hasta la formación del Imperio Akkadiano cuando Sargón de Akkad emitió una norma común. Este estándar fue mejorado por Naram-Sin, pero cayó este sistema dejó de ser utilizado después de la disolución del Imperio Akkadiano.
El estándar de Naram-Sin fue adoptado en el periodo Ur III por el Himno de Nanše que redujo una plétora de múltiples estándares a unas pocas agrupaciones comunes acordadas. Los sucesores a la civilización sumeria incluyendo los babilonios, los asirios, y los persas continuaron utilizando estas agrupaciones.
La metrología Akkado-Sumeriana ha sido reconstruida aplicando métodos estadísticos para comparar la arquitectura sumeria, planos arquitectónicos y normas oficiales emitidas como la Estatua B de Gudea y el codo de bronce de Nippur.
El número cero (0)
Uno de los primeros usos que se encuentra documentado del cero en la historia de los números, se encuentra bajo la responsabilidad de Brahmagupta, que era un matemático y astrólogo hindú quien escribió dos libros muy famosos de matemática y astrología que se llaman ‘‘the Brāhmasphuṭasiddhānta’’ que se puede definir como ‘‘La doctrina de Brahma’’, data del año 628 d. C.
El matemático en la historia de los números, trató el 0 como un número y discutió las operaciones que lo involucran, incluyendo la división. Para el entonces siglo VII, el concepto había llegado claramente a Camboya como números jemeres, y la documentación muestra que la idea se extendió más tarde a China y al mundo islámico.
El Brahmasphuṭasiddhanta de Brahmagupta es el primer libro que menciona el cero como un número, por lo tanto Brahmagupta es usualmente considerado el primero en formular el concepto de cero. Dio las reglas de usar cero con números negativos y positivos. Cero más un número positivo es el número positivo y el número negativo más cero es un número negativo, etc.
El Brahmasphutasiddhanta es el texto más antiguo del cual se posee conocimiento, que habla con respecto al cero en la historia de los números, como un número en su propio derecho, en lugar de simplemente como un dígito de marcador de posición en la representación de otro número como se hizo por los babilonios o como un símbolo de la falta de cantidad como se hizo por Ptolomeo y los romanos.
El uso del 0 en la historia de los números, como un número debe distinguirse de su uso como un número de reserva-espacio en sistemas de valor-espacio. Muchos textos antiguos usaban 0. Los textos babilónicos y egipcios lo utilizaban. Los egipcios usaban la palabra nfr para denotar un saldo cero en la contabilidad de partida doble.
Los textos indios usaban una palabra sánscrita Shunye o shunya para referirse al concepto de vacío o de la cuenta que no tiene nada. En los textos de matemáticas esta palabra a menudo se refiere al número cero. De manera similar, Pāṇini (siglo V a.C.) usó el operador nulo (cero) en el Ashtadhyayi, un ejemplo temprano de una gramática algebraica para el lenguaje sánscrita.
Hay otros usos de cero antes de Brahmagupta, aunque la documentación no es tan completa como en el Brahmasphutasiddhanta.
Los registros de la historia de los números muestran que los antiguos griegos parecían inseguros sobre el estatus de 0 como un número, se hacían preguntas como «¿cómo puede ser algo ‘nada’?» lo que llevó a interesantes argumentos filosóficos y, por el período medieval, religiosos sobre la naturaleza y existencia del 0 y el vacío. Las paradojas de Zeno de Elea dependen en parte de la interpretación incierta de 0. (Los antiguos griegos incluso cuestionaban si el 1 era un número.)
Los últimos pueblos olmecas del centro-sur de México comenzaron a usar el símbolo del cero, un glifo de concha, en el Nuevo Mundo, posiblemente en el siglo IV a.C., pero ciertamente en el año 40 a.C., lo cual se convirtió en una parte integral de los números mayas y del calendario maya.
Para el año 130 d.C., Ptolomeo, influenciado por Hiparco y los Babilonios en la historia de los números, estaba usando un símbolo para identificar el 0, cuya apariencia física o visual era un pequeño círculo con una barra larga, dentro de un sistema numérico sexagesimal que de otra manera usaba números alfabéticos griegos. Debido a que se usó solo, no únicamente como un marcador de posición, este cero helenístico fue el primer uso documentado de un cero verdadero en el Viejo Mundo.
En manuscritos bizantinos posteriores de su Syntaxis Mathematica (Almagest), el cero helenístico se había transformado en la letra griega omicron, que de otra manera significaría 70 en ese idioma.
Otro verdadero cero en la historia de los números, se usó en las tablas junto a los números romanos en el año 525 (el primer uso conocido por Dionisio Exiguus), pero como una palabra, ‘nulla’ significa nada, no como un símbolo. Cuando la división produjo 0 como residuo, se usó nihil, que también significa nada.
Estos ceros medievales fueron utilizados por todos los futuros computistas medievales (calculadores de Pascua). Un uso aislado de su inicial, N, fue usado en una tabla de números romanos por Bede o un colega alrededor de 725, un verdadero símbolo cero.
Números naturales
Los números más familiares son los números naturales (a veces llamados números enteros o números de conteo): 1, 2, 3, y así sucesivamente. Tradicionalmente, la secuencia de números naturales comenzaba con 1 (0 ni siquiera se consideraba un número para los antiguos griegos.) Sin embargo, en el siglo XIX, los teóricos del set y otros matemáticos comenzaron a incluir 0 en el conjunto de números naturales.
Hoy en día, diferentes matemáticos utilizan el término para describir ambos conjuntos, incluyendo 0 o no. El símbolo matemático para el conjunto de todos los números naturales es N, y, a veces, estilo de visualización de la pantalla cuando es necesario indicar si el set debe empezar por 0 o 1, respectivamente.
En el sistema numérico de base 10, de uso casi universal hoy en día para operaciones matemáticas, los símbolos para números naturales se escriben usando diez dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, y 9. El radix o base es el número de dígitos numéricos únicos, incluyendo cero, que un sistema numérico utiliza para representar números, cuenta con la excepción para el sistema decimal, en el que el radix es 10, el dígito más a la derecha de un número natural tiene un valor posicional de 1, y cada dos dígitos tiene un valor posicional diez veces mayor que el valor posicional del dígito a su derecha.
En la teoría de conjuntos, que es capaz de actuar como una base axiomática para las matemáticas modernas, los números naturales pueden ser representados por clases de conjuntos equivalentes.
Por ejemplo, el número 3 se puede representar como la clase de todos los sets que tienen exactamente tres elementos. Alternativamente, en Peano Aritmética, el número 3 se representa como sss0, donde s es la función «sucesora», es decir, 3 es el tercer sucesor de 0. Muchas representaciones diferentes son posibles; todo lo que se necesita para representar formalmente 3 es inscribir un cierto símbolo o patrón de símbolos tres veces
Números negativos
El concepto abstracto de los números negativos, en la historia de los números, fue reconocido ya entre los años 100 a.C. y 50 a.C. en China. Los Nueve Capítulos sobre el Arte Matemático contienen métodos para encontrar las áreas de las figuras; se usaron barras rojas para denotar los coeficientes positivos, negras para los negativos. La primera referencia en una obra occidental fue en el siglo III d.C. en Grecia.
Diofanto de Alejandría, quien fue un matemático griego considerado como el padre del álgebra maestral y gran precursor de la historia de los números, se refirió a la ecuación equivalente a 4x + 20 = 0 (la solución es negativa) en Aritmética, diciendo que la ecuación dio un resultado absurdo.
Durante los años 600, las cifras negativas se utilizaban en la India para representar las deudas. La referencia anterior de Diofanto fue discutida más explícitamente por el matemático indio Brahmagupta, en Brāhmasphuṭasiddhānta 628, quien usó números negativos para producir la fórmula cuadrática de forma general que sigue en uso hoy en día.
Sin embargo, en el siglo XII en la India, Bhaskara, da raíces negativas para las ecuaciones cuadráticas, pero dice que el valor negativo «en este caso no debe ser tomado, porque es inadecuado; la gente no aprueba las raíces negativas».
Los matemáticos europeos, en su mayor parte, se resistieron al concepto de números negativos en la historia de los númeos, hasta el siglo XVII, aunque Fibonacci, quien es conocido por la sucesión de Fibonacci, permitió soluciones negativas en problemas financieros donde podían ser interpretados como deudas, este concepto es explicado en el capítulo 13 de Liber Abaci, 1202, y más tarde como pérdidas, explicado en Flos.
Al mismo tiempo, los chinos indicaban números negativos dibujando un trazo diagonal a través del dígito más a la derecha que no es cero del número positivo correspondiente. El primer uso de números negativos en una obra europea lo hizo Nicolás Chuquet en el siglo XV. Los usó como exponentes, pero se refirió a ellos como «números absurdos».
Tan recientemente como en el siglo XVIII, era práctica común ignorar cualquier resultado negativo devuelto por las ecuaciones asumiendo que no tenían sentido, tal como René Descartes lo hizo con las soluciones negativas en un sistema de coordenadas cartesianas.
Números racionales
Es probable que el concepto de números fraccionarios o racionales se remonte a la prehistoria. Los antiguos egipcios usaban su notación de fracción egipcia para números racionales en textos matemáticos como el Papiro Matemático Rhind y el Papiro Kahun. Los matemáticos griegos e indios clásicos hicieron estudios de la teoría de los números racionales, como parte del estudio general de la teoría de números.
El más conocido de ellos son los Elementos de Euclides, que datan aproximadamente del año 300 a.C. de los textos indios, el más relevante es el Sutra del Sthanga, que también cubre la teoría de números como parte de un estudio general de las matemáticas.
El concepto de fracciones decimales está estrechamente ligado a la notación decimal lugar-valor; las dos parecen haberse desarrollado en tándem. Por ejemplo, es común que el sutra de matemáticas de Jain incluya cálculos de aproximaciones de fracción decimal a pi o la raíz cuadrada de 2. De manera similar, los textos matemáticos babilónicos siempre habían usado fracciones sexagesimales (base 60) con gran frecuencia.
Números irracionales
El primer uso conocido de números irracionales en la historia de los números, se dio en los Sulba Sutras de la India, compuestos entre los años 800 y 500 a.C. Las primeras pruebas de existencia de números irracionales se atribuyen generalmente a Pitágoras, más específicamente al pitagórico Hippaso de Metapontum, que produjo una prueba, considerada probablemente como geométrica de la irracionalidad de la raíz cuadrada del número 2.
La historia de los números cuenta que Hippaso descubrió números irracionales al tratar de representar la raíz cuadrada del número 2 como una fracción. Sin embargo Pitágoras creía en la absolutidad de los números, y no podía aceptar la existencia de números irracionales.
No podía refutar su existencia a través de la lógica, pero no se le era permitido aceptar los números irracionales como parte de otro grupo numérico de la clasificación de los números en general, y así, supuestamente y con frecuencia, sentenció a Hippaso a muerte por ahogamiento, para impedir la difusión de esta desconcertante noticia.
El siglo XVI trajo la aceptación final europea de los números integrales y fraccionarios negativos. En el siglo XVII, los matemáticos generalmente usaban fracciones decimales con notación moderna. Sin embargo, no fue hasta el siglo XIX que los matemáticos separaron a los irracionales en partes algebraicas y trascendentales, y una vez más emprendieron el estudio científico de los irracionales. Había permanecido casi inactivo desde Euclides.
En 1872 se publicaron las teorías de Karl Weierstrass (de su alumno E. Kossak), Eduard Heine (Crelle, 74), Georg Cantor (Annalen, 5) y Richard Dedekind. En 1869, Charles Méray había tomado el mismo punto de partida que Heine, pero la teoría se refiere generalmente al año 1872. El método de Weierstrass fue completamente establecido por Salvatore Pincherle (1880), y el de Dedekind ha recibido prominencia adicional a través de la obra posterior del autor, la cual fue realizada en el año 1888, y la aprobación de Paul Tannery realizada en el año 1894.
Weierstrass, Cantor, y Heine basan sus teorías en series infinitas, mientras que Dedekind funda la suya en la idea de un corte, que hoy en día se le conoce como Schnitt, en el sistema de números reales, separando todos los números racionales en dos grupos que tienen ciertas propiedades características. El tema ha recibido contribuciones posteriores de Weierstrass, Kronecker (Crelle, 101) y Méray.
La búsqueda de raíces de ecuaciones químicas y de mayor grado fue un desarrollo importante, el teorema de Abel-Ruffini (Ruffini 1799, Abel 1824) mostró que no podían ser resueltas por radicales (fórmulas que involucraban solamente operaciones aritméticas y raíces).
Por lo tanto, era necesario considerar el conjunto más amplio de números algebraicos (todas las soluciones a las ecuaciones polinómicas). Galois (1832) vinculó las ecuaciones polinómicas con la teoría de grupos, dando lugar al campo de la teoría de Galois.
Fracciones continuas, estrechamente relacionadas con los números irracionales, además que es debido a Cataldi, en el año 1613, recibieron la atención de Euler, y a principios del siglo XIX fueron destacadas a través de los escritos de Joseph Louis Lagrange. Otras contribuciones notables han sido hechas por Druckenmüller (1837), Kunze (1857), Lemke (1870) y Günther (1872).
Ramus (1855) primero conectó el tema con los determinantes, resultando, con las contribuciones subsecuentes de Heine, Möbius, y Günther, en la teoría de los determinantes de Kettenbruchd.
Infinitos e infinitesimales
La primera concepción conocida del infinito matemático aparece en el Yajur Veda, una antigua escritura india que, en el momento de ser escrita, fue redactado lo siguiente: «Si eliminas una parte del infinito o añades una parte al infinito, lo que queda es el infinito». El infinito era un tema popular del estudio filosófico entre los matemáticos de Jain c. Distinguían entre cinco tipos de infinito: infinito en una y dos direcciones, infinito en área, infinito en todas partes, e infinito perpetuamente.
Aristóteles fue el responsable de definir la noción tradicional occidental de infinito matemático. Distinguía entre la infinidad real y la infinidad potencial; el consenso general era que sólo la infinidad potencial tenía verdadero valor. Dos nuevas ciencias de Galileo Galilei fueron propuestas para discutir la idea de correspondencias uno a uno entre infinitos conjuntos.
Pero el siguiente gran avance en la teoría fue hecho por Georg Cantor, quien en 1895 publicó un libro sobre su nueva teoría de conjuntos, introduciendo, entre otras cosas, números transfinitos y formulando la hipótesis del continuum.
En la década de 1960, Abraham Robinson, quien es un matemático que se conoce principalmente por desarrollar el sistema de infinitos, mostró cómo los números infinitamente grandes e infinitesimales pueden ser rigurosamente definidos y usados para desarrollar el campo del análisis no estándar.
El sistema de números hiperrealistas representa un método riguroso para tratar las ideas sobre números infinitos e infinitesimales que habían sido usadas casualmente por matemáticos, científicos e ingenieros desde la invención del cálculo infinitesimal por Newton y Leibniz.
Una versión geométrica moderna del infinito está dada por la geometría proyectiva, que introduce «puntos ideales en el infinito», uno para cada dirección espacial. Cada familia de líneas paralelas en una dirección dada se postula para converger al punto ideal correspondiente. Esto está estrechamente relacionado con la idea de puntos de fuga en el dibujo en perspectiva.
Números complejos
La primera referencia que se conoce en la historia de los números a las raíces cuadradas de los números negativos, se produjo en la obra del matemático e inventor Garza de Alejandría en el siglo I d.C., cuando consideró el volumen de un frustum imposible para una pirámide.
Se hicieron más innovaciones cuando en el siglo XVI, matemáticos italianos como Niccolò Fontana Tartaglia y Gerolamo Cardano descubrieron fórmulas cerradas para las raíces de los polinomios de tercer y cuarto grado. Pronto se comprendió que estas fórmulas, aunque sólo se interesaran por soluciones reales, a veces requerían la manipulación de raíces cuadradas de números negativos.
Esto era doblemente inquietante, ya que ni siquiera consideraban que las cifras negativas estuvieran en firme en ese momento. Cuando René Descartes adaptó el término «imaginario» para estas cantidades en 1637, lo consideró despectivo.
La existencia de números complejos no fue completamente aceptada hasta que Caspar Wessel describió la interpretación geométrica en 1799. Carl Friedrich Gauss lo redescubrió y popularizó varios años más tarde, y como resultado la teoría de los números complejos recibió una notable expansión. La idea de la representación gráfica de números complejos había aparecido, sin embargo, ya en 1685, en De Algebra tractatus de Wallis se había hablado con respecto a las interrogantes de los números complejos.
También en 1799, Gauss proporcionó la primera prueba generalmente aceptada del teorema fundamental del álgebra, marcando fuertemente la historia de los números, a demás demostrando que cada polinomio sobre los números complejos tiene un sistema completo de soluciones en ese reino.
La aceptación general de la teoría de los números complejos se debe a la labor de Augustin Louis Cauchy y Niels Henrik Abel, y especialmente de este último, quien es conocido debido a que fue el primero en usar audazmente los números complejos con un éxito bien conocido.
Gauss estudió números complejos de la forma ‘‘a + bi’’, donde a y b son integrales, o racionales (y en donde i es una de las dos raíces de x2 + 1 = 0). Su alumno, Gotthold Eisenstein, estudió el tipo a + bω, donde ω es una raíz compleja de x3 – 1 = 0. Otras clases de números complejos, que son llamados campos ciclotómicos, derivan de las raíces de la unidad xk – 1 = 0 para valores más altos de k. Esta generalización se debe en gran parte a Ernst Kummer, quien también inventó los números ideales, que fueron expresados como entidades geométricas por Félix Klein en 1893.
En 1850 Víctor Alexandre Puiseux dio el paso clave para lograr distinguir entre polos y puntos de ramificación, e introdujo el concepto de puntos singulares esenciales. Esto finalmente condujo al concepto del plano complejo extendido.
Números primos
Los números primos han sido estudiados a lo largo de la historia de los números. Euclides dedicó un libro de los Elementos de la teoría de los primos; en él demostró la infinitud de los primos y el teorema fundamental de la aritmética, y presentó el algoritmo euclidiano para encontrar el mayor divisor común de dos números.
En el 240 a.C., Eratóstenes utilizó el tamiz de Eratóstenes para aislar rápidamente los números primos. Pero la mayor parte del desarrollo de la teoría de los primos en Europa se remonta en el Renacimiento y en las épocas posteriores.
En el año 1796, Adrien-Marie Legendre, precursor en la historia de los números, conjeturó el teorema del número primo, describiendo la distribución asintótica de los primos. Otros resultados concernientes a la distribución de los primos incluyen la prueba de Euler, en la que se establece que la suma de los recíprocos de los primos son separados, y la conjetura Goldbach, que afirma que cualquier número par suficientemente grande es la suma de dos primos.
Otra conjetura relacionada con la distribución de los números primos es la hipótesis de Riemann, formulada por Bernhard Riemann en el año 1859. El teorema del número primo fue finalmente probado por Jacques Hadamard y Charles de la Vallée-Poussin en 1896. Las conjeturas de Goldbach y Riemann siguen sin probarse ni refutarse.
Los números Romanos
El sistema numérico representado por letras del abecedarios se le conoce como números romanos, es un sistema numérico se originó como parte de la historia de los números, en la antigua Roma y siguió siendo la forma habitual de escribir números en toda Europa hasta la entrada total de la Baja Edad Media. Los números en este sistema están representados por combinaciones de letras del alfabeto latino. Los números romanos, tal como se usan hoy en día, se basan en siete símbolos, que se muestran en la foto previa.
El uso de números romanos continuó mucho después del inicio de la caída del Imperio Romano. A partir del siglo XIV, los números romanos comenzaron a ser reemplazados en la mayoría de los contextos por los más convenientes números hindúes-árabes; sin embargo, este proceso fue gradual, y el uso de los números romanos persiste en algunas aplicaciones menores hasta el día de hoy.
Uso básico del sistema numérico
El patrón original de los números romanos usaba los símbolos I, V. y X (1, 5 y 10) como simples marcas de recuento. Cada marcador para 1 (I) sumaba un valor unitario hasta 5 (V), y luego se sumaba a (V) para hacer los números del 6 al 9:
I, II, III, IIII, V, VI, VII, VIII, VIIII, X.
Los números del 4 (IIII) y del 9 (VIIII) resultaron problemáticos (entre otras cosas, se confunden fácilmente con los del III y el VIII), y posteriormente se sustituyen por el IV (uno menos de 5) y el IX (uno menos de 10). Esta característica de los números romanos se llama notación sustractiva.
Los números del 1 al 10 (incluyendo la notación sustractiva para 4 y 9) se expresan en números romanos como sigue:
I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X.
Siendo el sistema básicamente decimal, decenas y centenas siguen el mismo patrón:
Así, de 10 a 100 (contando en decenas, con X tomando el lugar de I, L tomando el lugar de V y C tomando el lugar de X):
X, XX, XXX, XL, L, LX, LXX, LXXX, XC, C.
Del mismo modo, de 100 a 1000 (contando en cientos):
C, CC, CCC, CD, D, DC, DCC, DCCC, CM, M.
Muchos números incluyen cientos, unidades y decenas. Siendo el sistema numérico romano básicamente decimal, cada «lugar» se añade por separado, en secuencia descendente de izquierda a derecha, como en el caso de los números «arábigos».
Por ejemplo, el número 39 es XXXIX, (tres decenas y una decena menos una), 246 es CCXLVI (doscientas, un cincuenta menos diez, un cinco y un uno). Como cada lugar tiene su propia notación no hay necesidad de mantener ceros, por lo que los «lugares faltantes» pueden simplemente omitirse: así, por ejemplo, 207 se escribe CCVII (doscientos, un cinco y dos unos) y 1066 se convierte en MLXVI (mil, un cincuenta y un diez, un cinco y un uno).
Los números romanos para números grandes se ven hoy en día principalmente en forma de números de año (otros usos se detallan más adelante en este artículo), como en estos ejemplos:
1776 como MDCCLXXVI, fecha escrita en el libro de la Estatua de la Libertad.
1954 como MCMLIV, como en el trailer de la película La última vez que vi París
1990 como MCMXC, utilizado como título del álbum debut del proyecto musical Enigma MCMXC a.D., llamado así por el año de su lanzamiento.
2014 como MMXIV, el año de los juegos de los XXII (22) Juegos Olímpicos de Invierno (en Sochi)
Historia de los números Romanos
Aunque en la historia de los números romanos se escribieron con letras del alfabeto romano, originalmente eran símbolos independientes. Los etruscos, por ejemplo, usaban 𐌠, 𐌡, 𐌢, ⋔, 𐌚, y ⊕ para I, V, X, L, C, y M, de los cuales sólo I y X eran letras en su alfabeto.
Una hipótesis es que los números etrusco-romanos se derivan en realidad de las muescas en las varillas, que siguieron siendo utilizadas por los pastores italianos y dálmatas en el siglo XIX.
Así, ⟨I⟩ no desciende de la letra ⟨I⟩ sino de una muesca anotada en el palo. Una de cada cinco muescas era de doble corte (⋀, ⋁, ⋋, ⋌, etc.), y una de cada diez era de corte cruzado (X), IIIIΛIIIIXIIIIΛIIIIXII…), muy similar a las marcas de recuento europeas actuales. Esto produjo un sistema posicional: Ocho en un palo de conteo eran ocho cuentas, IIIIΛIII, o la octava de una serie más larga de cuentas; de cualquier manera, podría ser abreviado ΛIII (u VIII), ya que la existencia de un Λ implica cuatro muescas previas.
Por extensión, dieciocho fue el octavo conteo después de los primeros diez, que podrían abreviarse como X, y también lo fue XΛIII. Del mismo modo, el número cuatro en el palo era la muesca en I que se podía sentir justo antes del corte de Λ (V), por lo que se podía escribir como IIII o IΛ (IV). Por lo tanto, el sistema no era ni aditivo ni sustractivo en su concepción, sino ordinal. Cuando las cuentas se transfirieron a la escritura, las marcas se identificaron fácilmente con las letras romanas I, V y X existentes.
La décima V o X a lo largo del palo recibió un golpe extra. Así, 50 fue escrito de varias maneras como N, И, K, Ψ, ⋔, etc., pero tal vez más a menudo como una forma de marca de pata de pollo como una V superpuesta y la I era una flecha apuntando hacia abajo ↆ. Esto se había aplanado a ⊥ (una T invertida) en el momento de Augusto, y poco después se identificó con la letra gráfica similar L. Asimismo, 100 era de diversas maneras Ж, ⋉, ⋈, H, o como cualquiera de los símbolos de 50 más un trazo extra.
La forma Ж (es decir, una X superpuesta y la I de la siguiente manera: 𐊌) llegó a predominar. Se escribió diversamente como >I< o ƆIC, y luego se abrevió como Ɔ o C, con la variante C ganando finalmente porque, como letra, significaba centum, en latín «cien».
La centésima V o X se marcaba con un recuadro o círculo. A demás 500 era como una Ɔ al revés sobre un ⋌ o ⊢, convirtiéndose en D o Ð en la epoca de Augusto, bajo la influencia grafica de la letra ⟨D⟩. Posteriormente se identificó como la letra D; un símbolo alternativo para «mil» era (I) (o CIƆ o CꟾƆ), y la mitad de mil o «quinientos» es la mitad derecha del símbolo, I) (o IƆ o ꟾƆ), y esto puede haberse convertido en ⟨D⟩Al menos esta fue la etimología que se le dio más tarde.
Mientras tanto, 1000 era una X encerrada en un círculo o caja: Ⓧ, ⊗, ⊕, ⊕, y para los tiempos agustinianos se identificaba parcialmente con la letra griega Φ phi. Con el tiempo, el símbolo cambió a Ψ y ↀ. Este último símbolo evolucionó a ∞, luego ⋈, y eventualmente cambió a M bajo la influencia de la palabra latina mille «thousand».
Edad Media y el Renacimiento
Las minúsculas se desarrollaron en la Edad Media, mucho después de la desaparición del Imperio Romano de Occidente, y desde entonces las versiones en minúsculas de los números romanos también se han utilizado comúnmente: i, ii, iii, iv, y así sucesivamente.
Desde la Edad Media, a veces se ha sustituido la «i» final de un número romano en «minúscula» por una «j», como «iij» en lugar de 3 o «vij» en lugar de 7. Esta «j» puede considerarse una variante de la «i». El uso de una «j» final se sigue utilizando en las recetas médicas para evitar la manipulación o mala interpretación de un número después de que ha sido escrito.
Los números en documentos e inscripciones de la Edad Media incluyen a veces símbolos adicionales, que hoy en día se denominan «números romanos medievales». Algunos simplemente sustituyen la letra estándar por otra letra (como «A» por «V», o «Q» por «D»), mientras que otros sirven como abreviaturas de números compuestos («O» por «XI», o «F» por «XL»). Aunque todavía se encuentran listados hoy en día en algunos diccionarios, desde hace mucho tiempo en la historia de los números que están fuera de uso.
Los cronogramas, que eran mensajes con las fechas codificadas en ellos, fueron populares durante la era del Renacimiento. El cronograma vendría una frase que contiene las letras I, V, X, L, C, D, y M. Al juntar estas letras, la persona que se encuentra leyendo el mensaje obtendría un número, usualmente indicando un año en particular.
Usos modernos
En el siglo XI, viendo la historia de los números hindúes-árabes se introdujeron en Europa viendo la historia de los números Romanos desde al-Andalus, a través de comerciantes árabes y tratados aritméticos. Los números romanos, sin embargo, resultaron ser muy persistentes, permaneciendo en uso común en Occidente hasta bien entrados los siglos XIV y XV, incluso en registros contables y otros registros comerciales, en donde los cálculos reales se fueron realizando usando un ábaco.
La sustitución por sus equivalentes «arábigos» más convenientes fue bastante gradual, y los números romanos todavía se utilizan hoy en día en ciertos contextos. Algunos ejemplos de su uso actual son:
- Nombres de monarcas y papas, por ejemplo, Isabel II del Reino Unido, Papa Benedicto XVI. Estos se denominan números regnal; por ejemplo, II se pronuncia «el segundo». Esta tradición comenzó en Europa esporádicamente en la Edad Media, ganando uso generalizado en Inglaterra sólo durante el reinado de Enrique VIII. Anteriormente, el monarca no era conocido por números sino por un epíteto como Eduardo el Confesor. Algunos monarcas (por ejemplo, Carlos IV de España y Luis XIV de Francia) parecen haber preferido el uso de IIII en lugar de IV en su acuñación.
- Sufijos generacionales, particularmente en los Estados Unidos, para personas que comparten el mismo nombre entre generaciones, por ejemplo William Howard Taft IV.
- En el calendario republicano francés, iniciado durante la Revolución Francesa, los años fueron numerados con números romanos – desde el año I (1792) cuando este calendario fue introducido hasta el año XIV (1805) cuando fue abandonado.
- El año de producción de películas, programas de televisión y otras obras de arte dentro de la propia obra. La BBC News ha sugerido (considerado por algunos como un comentario en forma de chiste) que esto se hizo originalmente «en un intento de disfrazar la época de las películas o los programas de televisión». Las referencias externas a la obra utilizarán números regulares hindúes-árabes.
- Marcas horarias en los relojes. En este contexto, 4 se suele escribir IIII.
- El año de la construcción en las caras de los edificios y las piedras angulares.
- Numeración de páginas de prefacios e introducciones de libros, y a veces también de anexos.
- El volumen del libro y los números de los capítulos, así como los diversos actos dentro de una obra de teatro (por ejemplo, Acto iii, Escena 2).
- Secuencias de algunas películas, videojuegos y otros trabajos (como en Rocky II).
- Esquemas que utilizan números para mostrar relaciones jerárquicas.
- Ocurrencias de un gran evento recurrente, por ejemplo: Los Juegos Olímpicos de Verano y de Invierno (por ejemplo, los XXI Juegos Olímpicos de Invierno; los Juegos de la XXX Olimpiada). El Super Bowl, el juego de campeonato anual de la Liga Nacional de Fútbol (por ejemplo, el Super Bowl XXXVII; el Super Bowl 50 es una excepción única).
Usos modernos en Europa
Algunos usos que son raros o nunca vistos en países de habla hispana o inglesa en la historia de los números Romanos, son relativamente comunes en Europa continental. Por ejemplo:
Los números romanos en mayúsculas o en minúsculas son ampliamente utilizados en las lenguas románicas para denotar siglos, por ejemplo, el siècle de la xviiie francesa y el siglo XVIII español, que significa «siglo XVIII». Las lenguas eslavas en Rusia y adyacentes también favorecen los números romanos (XVIII век). Por otro lado, en las lenguas eslavas de Europa Central, como la mayoría de las lenguas germánicas, se escribe «18.» (con un punto) antes de la palabra local para «siglo».
La historia de los números mixtos romanos e hindúes-árabes en la historia de los números Romanos, se utilizan a veces en representaciones numéricas de fechas (especialmente en cartas formales y documentos oficiales, pero también en lápidas). El mes está escrito en números romanos, mientras que el día está en números hindúes-árabes: «14.VI.1789» y «VI.14.1789» se refieren ambos sin ambigüedades al 14 de junio de 1789.
Los números romanos se utilizan a veces para representar los días de la semana en las señales de las horas de funcionamiento que aparecen en las ventanas o en las puertas de las empresas, y también a veces en los horarios de los ferrocarriles y autobuses.
El lunes, el cual es tomado como primer día de la semana, está representado por I. El domingo está representado por VII. Las señales de las horas de operación son tablas compuestas de dos columnas donde la columna izquierda es el día de la semana en números romanos y la columna derecha es un rango de horas de operación desde la hora de inicio hasta la hora de cierre.
Ahora bien, ejemplificándose en el siguiente caso con la izquierda, la empresa abre de 10 a.m. a 7 p.m. los días laborables, de 10 a.m. a 5 p.m. los sábados y cierra los domingos. Se debe tener en cuenta que la lista en cuestión utiliza un tiempo de 24 horas.
Los números romanos también se pueden utilizar para la numeración de pisos.Por ejemplo, los apartamentos en el centro de Ámsterdam se indican como 138-III, con un número hindú-árabe (número de cuadra o casa) y un número romano (número de piso). El apartamento en la planta baja está indicado como «138-huis».
En Italia, donde las carreteras fuera de las zonas edificadas tienen señales kilométricas, las carreteras principales y las autopistas también marcan subdivisiones de 100 metros, utilizando números romanos del I al IX para los intervalos más pequeños. El signo «IX | 17» marca así el kilómetro 17,9.
Una excepción notable al uso de los números romanos en Europa se encuentra en Grecia, donde los números griegos (basados en el alfabeto griego) se utilizan generalmente en contextos en los que los números romanos se utilizarían en otros lugares.
El cero en la historia de los números Romanos
El número cero no tiene su propio connotación creada en la historia de los números romanos, pero la palabra nulla, que es una palabra originaria del latín que cuenta con su significado en castellano como ‘‘ninguno’’, fue utilizada por los eruditos medievales en lugar de 0. Se sabe que Dionisio Exiguus usó la palabra nulla junto con números romanos en el año 525. Alrededor de 725, Bede o uno de sus colegas usó la letra N, que es la inicial de nulla o de nihil, que es una palabra del latín que significa ‘‘nada’’ en castellano, en una tabla de epítetos, todos escritos en números romanos.
Fracciones en la historia de los números Romanos
Aunque los romanos en la historia de los números romanos usaban un sistema decimal para los números enteros, reflejando cómo contaban en latín, usaban un sistema duodecimal para las fracciones, porque la divisibilidad de doce (12 = 22 × 3) hace más fácil manejar las fracciones comunes de 1/3 y 1/4 que un sistema basado en diez (10 = 2 × 5).
En las monedas, muchas de las cuales tenían valores que eran fracciones duodecimales de la unidad, es decir, utilizaron un sistema de anotación similar a una cuenta basado en doceavas partes y mitades. Un punto (-) indicaba una uncía «doceava», la fuente de las palabras inglesas que se definen como pulgada y onza; los puntos se repetían para fracciones de hasta cinco doceavas partes. Seis doceavas partes (una mitad) fue abreviada como la letra S para semifinales «mitad».
Se agregaron puntos uncía a la letra S para fracciones de siete a once doceavas partes, al igual que se agregaron cuentas a V para números enteros de seis a nueve.
Para una mejor comprensión del texto, anexo el siguiente video: